Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна
 
Фибоначчи - великий итальянский математик

Данная головоломка была придумана великим итальянским учёным-математиком Фибоначчи, который жил в XIII веке. Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, около 1170 —  1250, Пиза), более известен миру под прозвищем Фибоначчи. Рекуррентная формула, которую получил автор задачи решая свою же задачу, считается первой рекуррентной формулой в истории математики. Также в этой задаче использованы немалоизвестные числа Фибоначчи.

Кролики Фибоначчи

Условия задачи

«В огороженное место помещены пара кроликов (самка и самец) 1 января. Эта пара кроликов начинает приносить потомство через месяц, то бишь с 1 февраля и даёт приплод ежемесячно по паре новых кроликов. Каждая новая пара кроликов становится половозрелой ровно через месяц и тоже начинает приносить ежемесячно по паре кроликов.

Вопрос: сколько всего кроликов будет через год, то бишь через 12 месяцев с начала размножения?»

Решение задачи

Для упрощения решения задачи обозначим через A пару зрелых кроликов, через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух «переходов», которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:

А=>AB

B=>A

А=>AB обозначает превращение одной взрослой пары в полноценную семью, то есть рождение ещё пары кроликов.

B=>A - переход молодняка в зрелый возраст.

  • 1 месяц (январь) — А (1 пара молодняк)
  • 2 месяц (февраль) — АВ (1 пара зрелая + 1 пара молодняк)
  • 3 месяц (март) — АВА (2 пары зрелые + 1 пара молодняк)
  • 4 месяц (апрель) — АВААВ (3 пары зрелые + 2 пары молодняк)
  • 5 месяц (май) — ABAABABA (5 пар зрелые + 3 пары молодняк)

Внимательно изучив последовательности чисел А, В и А+В, видим закономерность: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Обозначим количество пар кроликов через С, а через d - порядковый номер месяца. Составляем формулу:

Cd = Cd-1 + Cd-2

Называется она — рекуррентная формула

С помощью полученной формулы рассчитываем количество кроликов по месяцам:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.

Это так называемые числа Фибоначчи — последовательность чисел, где каждое следующее число, начиная с третьего, получается сложением двух предыдущих чисел.